法雷 级数

wuchangjian2021-11-04 20:55:26编程学习

法雷级数

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法雷级数

所有分母小于等于n,并且值介于0到1之间的既约分数(分子分母互素)从小到大排列所组成的序列 。

即 Fn = { a / b, gcd(a,b) = 1 && 0<=a<=b<=n};

如下:

F1 = { 0 / 1, 1 / 1 };
F2 = { 0 / 1, 1 / 2, 1 / 1 };
F3 = { 0 / 1, 1 / 3, 1 / 2, 2 / 3, 1 / 1 };

那么一般情况下,我们都想要知道,Fn有多少个?

我们知道Fn中,相对于Fn-1,增加的就是以n为分母的元素。那么,增加的个数就是从1-n互素的个数。也就是欧拉函数。

这里我们设F(n)就是Fn的个数,E(n)为欧拉函数的值。那么结论就是:

F(n)=F(n-1)+E(n);

性质:

  第一,如果a / b, a’ / b’是Fn中相邻的两项,则有abs(a * b’ – b * a’) = 1。

  第二,如果a / b, a’’ / b’’, a’ / b’是Fn中的相邻三项,则有( a + a’ ) / ( b + b’ ) = a’’ / b’’。
             特别地,如果a’’ / b’’是新添加的,即a’’ / b’’不属于F(n-1),则有a + a’ = a’’ && b + b’ = b’。

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