UA OPTI512R 傅立叶光学导论16 Nyquist-Shannon采样定理

wuchangjian2021-11-04 04:34:54编程学习

UA OPTI512R 傅立叶光学导论16 Nyquist-Shannon采样定理

    • 周期性采样的数学表示
    • Nyquist-Shannon采样定理

因为计算机只能处理离散数据,所以即使真实信号是连续的,我们也只能采集它的一些离散样本输入计算机中做后续处理。这种用离散序列表示连续信号的操作叫做采样(sampling)。根据每次采样间隔是否均匀可以把采样分为周期性采样(periodic sampling)与非周期性采样(non-periodic sampling),这一讲讨论周期性采样。

周期性采样的数学表示

之前介绍光学中常用特殊函数时介绍了comb函数,它的定义是
c o m b ( x ) = ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( x − n ) comb(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(x-n) comb(x)=n=+δ(xn)

根据Dirac函数的sifting property,comb函数与函数 f ( x ) f(x) f(x)相乘时,作用是把 f ( x ) f(x) f(x)变成序列 { f ( n ) } \{f(n)\} {f(n)},也就是每间隔1单位做一次采样,假设我们希望的采样间隔为 Δ \Delta Δ,则只需要用 f ( x ) f(x) f(x) c o m b ( x / Δ ) comb(x/\Delta) comb(x/Δ)相乘就能得到间隔为 Δ \Delta Δ的样本序列了。由此我们定义信号 f ( x ) f(x) f(x)的采样间隔为 Δ \Delta Δ的采样函数(sampled function)为
f S ( x ) = f ( x ) ⋅ ( 1 Δ c o m b ( x / Δ ) ) f_S(x)=f(x) \cdot \left( \frac{1}{\Delta} comb(x/\Delta) \right) fS(x)=f(x)(Δ1comb(x/Δ))

其中 1 / Δ 1/\Delta 1/Δ的作用是做标准化,保证采样得到的离散信号相对源信号不会被放大或者缩小,从数学上讲它的作用是保证脉冲函数的归一性 ∫ − ∞ + ∞ 1 Δ δ ( x / Δ − n ) d x = 1 = ∫ − ∞ + ∞ δ ( x − n Δ ) d x \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\Delta} \delta(x/\Delta-n)dx=1=\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x-n\Delta)dx +Δ1δ(x/Δn)dx=1=+δ(xnΔ)dx,所以
f S ( x ) = ∑ n = − ∞ + ∞ f ( x n ) δ ( x − x n ) , x n = n Δ f_S(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(x_n)\delta(x-x_n),x_n = n\Delta fS(x)=n=+f(xn)δ(xxn),xn=nΔ
在这里插入图片描述

采样函数的频率谱
假设 F ( ξ ) = F [ f ( x ) ] F(\xi)=\mathcal{F}[f(x)] F(ξ)=F[f(x)],则 F S ( ξ ) = ∑ n = − ∞ + ∞ F ( ξ − n ξ S ) F_S(\xi)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(\xi - n\xi_S) FS(ξ)=n=+F(ξnξS)

其中 ξ S = 1 Δ \xi_S=\frac{1}{\Delta} ξS=Δ1被称为采样频率,这个结果说明采样函数的频率谱就是源信号的频率谱平移 { n ξ S } \{n\xi_S\} {nξS}后的叠加。
在这里插入图片描述
用卷积定理可以得到上述结果:
F S ( ξ ) = F [ f ( x ) ⋅ ( 1 Δ c o m b ( x / Δ ) ) ] = F [ f ( x ) ] ∗ F [ 1 Δ c o m b ( x / Δ ) ] = F ( ξ ) ∗ c o m b ( ξ / ξ S ) = F ( ξ ) ∗ ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( ξ − n ξ S ) = ∑ n = − ∞ + ∞ F ( ξ − n ξ S ) \begin{aligned}F_S(\xi) &=\mathcal{F}\left[f(x) \cdot \left( \frac{1}{\Delta} comb(x/\Delta) \right)\right] \\ & = \mathcal{F}[f(x)] * \mathcal{F} \left[ \frac{1}{\Delta} comb(x/\Delta) \right] \\ & = F(\xi) * comb(\xi/\xi_S) \\ & = F(\xi) * \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(\xi-n\xi_S) \\ &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(\xi - n\xi_S)\end{aligned} FS(ξ)=F[f(x)(Δ1comb(x/Δ))]=F[f(x)]F[Δ1comb(x/Δ)]=F(ξ)comb(ξ/ξS)=F(ξ)n=+δ(ξnξS)=n=+F(ξnξS)

Nyquist-Shannon采样定理

Band-limited Function 在某个区间内有非零频率谱的函数被称为Band-limited Function,用 f B ( x ) f_B(x) fB(x)来表示,其中 B B B代表带宽,则它的数学定义为
F B ( ξ ) = F [ f B ( x ) ] { > 0 , ∣ ξ ∣ ≤ B 2 = 0 , ∣ ξ ∣ > B 2 F_B(\xi) = \mathcal{F}[f_B(x)] \begin{cases} >0,|\xi| \le \frac{B}{2} \\ =0,|\xi|>\frac{B}{2}\end{cases} FB(ξ)=F[fB(x)]{>0,ξ2B=0,ξ>2B

采样定理 这个定理想讨论的问题是离散的样本序列能不能代表完整的信号,毕竟把连续信号用离散序列表示本身是有信息损失的。这个问题在Shannon之前,Whittaker、Nyquist等人已经讨论过了,到Shannon时候,他建立了完整的理论,也就是现在非常有用的信息论,他认为源信号是Band-limited Function时,只要采样频率大于源信号频率谱的带宽( ξ S > B \xi_S>B ξS>B),那么采样得到的离散信号就可以完美得重构出源信号。

Shannon的思想可以用一个很简单的filter论证,
在这里插入图片描述
现在我们有采样函数的频谱 F S ( ξ ) F_S(\xi) FS(ξ),引入一个滤波器
F [ h ( x ) ] = H ( ξ ) h ( x ) = B s i n c ( B ) , H ( ξ ) = r e c t ( ξ / B ) \mathcal{F}[h(x)]=H(\xi) \\ h(x)=Bsinc(B),H(\xi)=rect(\xi/B) F[h(x)]=H(ξ)h(x)=Bsinc(B),H(ξ)=rect(ξ/B)

采样函数的频谱与这个滤波器作用后的结果为
F ^ ( ξ ) = F S ( ξ ) H ( ξ ) = ∑ n = − ∞ + ∞ F ( ξ − n ξ S ) H ( ξ ) \hat F(\xi)=F_S(\xi)H(\xi)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(\xi - n\xi_S)H(\xi) F^(ξ)=FS(ξ)H(ξ)=n=+F(ξnξS)H(ξ)

因为 H ( ξ ) = r e c t ( ξ / B ) = 0 H(\xi)=rect(\xi/B)=0 H(ξ)=rect(ξ/B)=0 ∀ ∣ ξ ∣ ≥ B / 2 \forall |\xi| \ge B/2 ξB/2,也就是说在一个带宽以外的频谱无法通过滤波器,只有 n = 0 n=0 n=0时的频谱 F ( ξ ) F(\xi) F(ξ)可以保留下来,所以 ξ S > B \xi_S>B ξS>B时,
F ^ ( ξ ) = F ( ξ ) \hat F(\xi)=F(\xi) F^(ξ)=F(ξ)

也即通过采样函数可以完美还原出源信号的频谱。

根据卷积定理,
f ^ ( x ) = F − 1 [ F S ( ξ ) H ( ξ ) ] = f S ( x ) ∗ h ( x ) = ∑ n = − ∞ + ∞ f ( x n ) δ ( x − x n ) ∗ B s i n c ( B x ) = B ∑ n = − ∞ + ∞ f ( x n ) s i n c ( B ( x − x n ) ) \hat f(x)=\mathcal{F}^{-1}[F_S(\xi)H(\xi)] = f_S(x)*h(x) \\ =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(x_n)\delta(x-x_n) * B sinc(Bx)=B \sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(x_n) sinc(B(x-x_n)) f^(x)=F1[FS(ξ)H(ξ)]=fS(x)h(x)=n=+f(xn)δ(xxn)Bsinc(Bx)=Bn=+f(xn)sinc(B(xxn))

相当于用sinc曲线连接离散序列 { f ( x n ) } \{f(x_n)\} {f(xn)}做插值来还原 f ( x ) f(x) f(x),当 ξ S > B \xi_S>B ξS>B时, f ^ ( x ) ∝ f ( x ) \hat f(x) \propto f(x) f^(x)f(x)

在这里插入图片描述
如果 ξ S < B \xi_S<B ξS<B,则组成 F S ( ξ ) F_S(\xi) FS(ξ)的各段频域会重叠,用 H ( ξ ) H(\xi) H(ξ)这个滤波器得到的频域包含左右两端重叠部分,导致还原出的频谱 F ^ ( ξ ) \hat F(\xi) F^(ξ)与源信号频域 F ( ξ ) F(\xi) F(ξ)不一致。

发表评论    

◎欢迎参与讨论,请在这里发表您的看法、交流您的观点。